Реферат

З дисципліни “Вища математика”

Розділ 4 “Диференціальні рівняння”

на тему:

“Лінійні різницеві рівняння

зі сталими коефіцієнтами.

Задача Коші”

План

1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння

зі сталими коефіцієнтами

1.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь

з сталими коефіцієнтами методом Ейлера.

1.2. Розв’язок систем однорідних рівнянь

зі сталими коефіцієнтами матричним методом

1.3. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем

2. Задача Коші

Використана література

1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння

зі сталими коефіцієнтами

Система диференціальних рівнянь вигляду

  - сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими

коефіцієнтами. У матричному вигляді вона записується

 1.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь

з сталими коефіцієнтами методом Ейлера.

Розглянемо один з методів побудови розв’язку систем з сталими

коефіцієнтами.

Розв’язок системи шукаємо у вигляді вектора

Підставивши в систему диференціальних рівнянь, одержимо

і перенісши всі члени вправо, запишемо

Отримана однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має розв’язок

тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

Це рівняння, може бути записаним у векторно-матричній формі

і воно називається характеристичним (чи віковим) рівнянням. Розкриємо

його

 .

 -коренів. Розглянемо різні випадки.

 ) дійсні і різні. Підставляючи їх по черзі в систему алгебраїчних

рівнянь

одержуємо відповідні ненульові розв’язки системи

 .

 - розв’язків

 ...

 - лінійно незалежні, і загальний розв’язок системи має вигляд

 .

Або у векторно - матричної формі запису

 ,

 - довільні сталі.

 . Комплексному власному числу відповідає комплексний власний вектор

і, відповідно, розв’язок

 , перетворимо розв’язок до вигляду:

 .

 відповідають лінійно незалежні розв’язки

 .

 , то розв’язок системи рівнянь має вигляд

 .

 і розв’язуючи систему, одержимо

 .

1.2. Розв’язок систем однорідних рівнянь

зі сталими коефіцієнтами матричним методом

Досить універсальним методом розв’язку лінійних однорідних систем з

сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному.

Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у

векторно-матричному вигляді

 .

 - нова невідома векторна функція. Тоді рівняння прийме вигляд

 .

 . І система диференціальних рівнянь прийме вигляд

 .

 .

 коренів. Розглянемо різні випадки.

 має вигляд

 .

 - незалежних рівнянь

 .

Розв’язуючи кожне окремо, отримаємо

 .

Або в матричному вигляді

 .

 треба розв’язати матричне рівняння

 ,

 записати у вигляді

 ,

 , матричне рівняння перетвориться до

 .

 - власних векторів, що відповідають різним власним числам.

 - комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд

 ,

а перетворена система диференціальних рівнянь

Неважко перевірити, що розв’язок отриманої системи диференціальних

рівнянь має вигляд

Або в матричному вигляді