Реферат на тему: 

Застосування похідної

Правило Лопіталя

 . Тоді говорять, що в точці а функція f (x) має невизначеність виду

 . (4.17)

 , тобто визначити спосіб для розкриття невизначеностей виду (4.17).

Теорема (правило Лопіталя). Границя відношення двох нескінченно малих
або нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їхніх
похідних (скінченній або нескінченній), якщо остання існує.

 знову застосовуємо правило Лопіталя і виводимо формулу

 

і т. п.

 .

 . Застосовуємо правило Лопіталя:

 .

 .

 . Застосовуємо правило Лопіталя:

 

 , а тому застосовуємо правило Лопіталя повторно):

 .

Перетворення невизначеностей виду

 .

 . При розкритті інших типів невизначеностей їх перетворюють до одного з
цих видів.

 .

Потрібно знайти

 . (4.18)

 .

Якщо вираз (4.18) записати у вигляді

 ,

 .

 .

 , застосуємо правило Лопіталя:

 

 .

 (а — скінченне або нескінченне) можливі три випадки:

 ;

 ;

 .

 .

 для всіх трьох випадків.

 (k — скінченне або ().

 .

 .

 , і прологарифмуємо її:

 .

 . Застосуємо правило Лопіталя:

 .

 .

 .

 .

 .

 .

 .

 .

 , а потім двічі застосуємо правило Лопіталя:

 

 

Зростання та спадання функцій

 ).

Теорема 1 (необхідна умова зростання (спадання) функції):

1. Якщо диференційовна функція зростає на деякому проміжку, то похідна
цієї функції невід’ємна на цьому проміжку.

2. Якщо диференційовна функція спадає на деякому проміжку, то похідна
цієї функції недодатна на цьому проміжку.

 

Рис. 4.8

Теорема 2 (достатня умова зростання (спадання) функції):

1. Якщо похідна диференційовної функції додатна всередині деякого
проміжку, то функція зростає на цьому проміжку.

2. Якщо похідна диференційовної функції від’ємна всередині проміжку, то
функція спадає на цьому проміжку