Загальні властивості неперервних функцій

Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї

змінної, так і для функцій багатьох змінних.

 , визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D, є обмеженою.

Для функції однієї змінної замкненою областю D є сегмент, наприклад, [а,

b].

Сформулюємо теорему 3 для функції однієї змінної у = f(х). Функція f(х),

неперервна на [а, b], є обмеженою.

 неперервна в інтервалі (0, 1), але вона в цьому інтервалі не обмежена.

 і f(А) ? 0, то функція в достатньо малому околі точки А зберігає знак.

Сформулюємо теорему 4 в термінах функції однієї змінної:

якщо функція у = f (х) неперервна в точці а і f(а) ? 0, то функція в

достатньо малому околі точки а зберігає знак.

 ) виконується нерівність f(х) > 0.

 -окіл точки f(а) (рис. 3.75).

 такий, що f(х) > 0.

 визначена і неперервна в деякій однозв'язній області D, причому в цій

області дві точки А (а1 а2, ..., аn) і В (b1, b2, ..., bn), в яких

функція набуває значень різних знаків:

f(А) < 0, f(В) > 0,

то в цій області знайдеться принаймні одна точка С, в якій функція

перетворюється в нуль, тобто f(С) = 0.

Введемо поняття однозв'язної області. Множина точок простору Е„

називається простою дугою Жордана (простою кривою), якщо цей простір

можна дістати в результаті відображення деякого сегмента t0 ? t ? Т за

допомогою системи функцій

неперервних на цьому сегменті, причому двом різним значенням параметра t

відповідають, дві різні точки.

 , то крива називається простою замкненою кривою.

Розглянемо просту криву, задану рівняннями

х = х(t), y = y(t) (5.18)

на площині. Якщо будь-які дві точки області, розміщеної на площині,

можна сполучити простою кривою, яка міститься в цій області, то область

називається зв'язною. Для утворення однозв'язної області необхідно

розглядати замкнену криву (5.18).

Якщо побудувати просту замкнену криву (5.18) на площині, то площина

розіб'ється на дві області — внутрішню і зовнішню.

І

??

??

??????

?Й?иться в D. На рис. 3.76 області а і б однозв'язні, а область в —

неоднозв'язна. Поняття зв'язної і однозв'язної областей поширюється і на

випадок n-вимірного простору.

 ) = 0.

 називається коренем (нулем) функції f(х), а сформульована теорема

називається теоремою про корінь (про нуль).

На рис. б — три корені, а на рис., a — один.

 неперервна в зв'язній області D (відкритій або замкненій) і набуває

різних значень у точках М1 і М2, то яким би не було число С, що

міститься між значеннями f(М1) і f(М2), існує принаймні одна така точка

М3, яка лежить всередині D, що

f(М3) = С

Сформулюємо теорему 6 для функції однієї змінної:

 ).

Доведення. Нехай А < В і А < С < В (рис. 3.78). Побудуємо функцію Н (х)

= f(х) - С.

Для цієї функції

 ) = 0, тобто

Звідси

що й треба було довести.

 неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона обмежена, тобто

всі її значення містяться між двома скінченними числами та і М:

m ? f(X) ? M.

 D, в якій функція набуває найбільшого значення f(Х2) = М.