Реферат на тему: 

Визначений інтеграл

Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла

 

На рис. 7.3. зображені: класична криволінійна трапеція (а) та її
вироджені випадки (б) та (в).

 

Рис. 7.3

Задача. Обчислити площу криволінійної трапеції аАВв (рис. 7.4).

Розв’язання.

 (рис. 7.4).

 

 

Рис. 7.4

 (рис. 7.5).

Розв’язання.

 (рис. 7.5).

 

Рис. 7.5

 на відрізку [a; b] знайдеться тоді так:

 

 називається інтегральною сумою.

 

Поняття визначеного інтеграла

 так що

 

 

 .

 .

 на проміжку [a; b] і позначається:

 , (7.8)

 — знак визначеного інтеграла;

а, b — нижня та верхня межі інтегрування;

f(x) — підінтегральна функція;

f(x) dx — підінтегральний вираз;

dx — диференціал змінної інтегрування.

 

 називається інтегровною на цьому проміжку.

Далі буде показано, що неперервні функції — інтегровні.

Геометричний зміст визначеного інтеграла

 дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції (рис. 7.4).

7.2.3. Властивості визначеного інтеграла

 

 

 інтегровні на [a; b], то 

 

 

 

 

 

 

 то

 

Доведення випливає як наслідок із властивостей І та VIII.

Х. Теорема 7 (про середнє).

 що:

 (7.9)

 та неперервна на проміжку [a; b] (рис. 7.6).

 

Рис. 7.6.

Поняття визначеного інтеграла 

зі змінною верхньою межею інтегрування, формула Ньютона—Лейбніца

 , що зумовить приріст функції.

 (рис. 7.7)

 

Рис. 7.7

 то похідна від інтеграла зі змінною верхньою межею інтегрування по цій
межі дорівнює підінтегральній функції від верхньої межі інтегрування,
тобто

 (7.10)

Наслідки:

 .

 має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна
побудувати у вигляді визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею,
тобто 

 

 .

 

 на цьому проміжку, тобто 

 (7.11)

 тоді зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна подати
такою рівністю:

 (7.12)

Наслідок. Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із
первісних підінтегральних функцій і виконати над нею подвійну
підстановку.

 

 

Метод підстановки у визначеному інтегралі

 то

 (7.13)

Зауваження. При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі
змінюються межі інтегрування, і тому нема потреби повертатись до
початкової змінної.

 

 

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

 , то 

 (7.14)

Приклад. 

 

 

Формули наближеного обчислення

визначених інтегралів