Реферат на тему:

Випадкові величини

1. Випадкові величини ( функції на просторі елементарних подій.

Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової

величини. Випадкова величина ( це величина, яка приймає те чи інше

значення в залежності від випадку. Прикладом випадкової величини можуть

бути число очок, які випали при одному підкиданні грального кубика,

число попадань в ціль при n пострілах, час безвідмовної роботи приладу,

дальність польоту балістичної ракети та інш. Випадкова величина ( є

число, яке ставиться у відповідність кожному можливому наслідку

експеримента. Оскільки наслідки експерименту описуються елементарними

подіями, випадкову величину можна розглядати як функцію ( ( (((( на

просторі елементарних подій (.

Приклад. Нехай двічі підкидають монету. Простір елементарних подій має

вигляд (((ГГ, ГР, РГ, РР(. Нехай ( ( число появ герба. Величина ( є

функцією ( ( (((( елементарної події. Таблиця значень функції (((( має

наступний вигляд:

 ( Г Г Г Р Р Г Р Р

(((( 2 1 1 0

Функція ( ( (((( на ( називається вимірною відносно ( ( алгебри (, якщо

для кожного дійсного х виконана умова ((: ((((( х(((.

Випадковою величиною ( на (((((( () називається вимірна функція

( ( ((((, яка задає відображення ( в множину дійсних чисел R.

Функцією розподілу випадкової величини (((( називається функція

F(x)={ ( : (((( < x}.

Нехай <((((( (> ( ймовірнісний простір і (((( ( випадкова величина на

ньому. Показати,що кожна із множин множини (

{ ( : (((( ( x}, { ( : (((( ( x},

{ ( : (((( (x}, { ( : a((((( < b},

{ ( : (((( (x}, { ( : a<(((( < b}

 ),

2. Дискретні випадкові величини.

 Нехай <((((( (> ( ймовірнісний простір. Дискретною випадковою величиною

називається функція (((( на (, яка набуває скінченне або зліченне число

значень х1, х2, …, хn , … і є вимірною відносно ( ( алгебри (. Це

означає, що для кожного хі

 { ( : (((( (x} ( ( (1)

Дійсно, якщо для функції (((( має місце співвідношення (1), то ця

функція вимірна відносно (, так як для кожного дійсного х

 { ( : (((( (xі} ( (.

Крім того, якщо (((( вимірна відносно ( ( алгебри (, то за Теоремою 1

для кожного дійсного х { ( : (((( (x } ( (. Таким чином, якщо (((( (

дискретна випадкова величина на ймовірнісному просторі <((((( (>, яка

приймає значення х1, х2, …, хn, …, то для кожного n визначена

ймовірність

 Рn=Р{ ( : (((( (xn}

 (2)

Нехай ((() – дискретна випадкова величина, яка набуває значення х1,…,

хі,…. Набір чисел

Р{(:((()=xi}=pi (i=1,2,…)

називають р о з п о д і л о м випадкової величини (. Зрозуміло, що

 .

 Часто розподіл випадкової величини подають у вигляді такої таблиці, в

якій перераховуються значення випадкової величини разом з відповідними

ймовірностями:

 ( x1 … xk …

 p p1 … pk …

 Функція розподілу дискретної випадкової величини ((() визначається

рівністю