Реферат на тему: 

Узагальнення поняття інтеграла

Невласні інтеграли 

із нескінченним проміжком інтегрування

 існує.

 .

Якщо ця границя існує та скінченна, то невласний інтеграл називається
збіжним, а якщо не існує (зокрема нескінченна), то — розбіжним.

 формули для обчислення невласних інтегралів на нескінченному проміжку
мають вигляд:

 (7.27)

 (7.28)

 (7.29)

 

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл Діріхле

 . (7.30)

Для розв’язування задачі розглянемо такі три випадки:

 інтеграл розбіжний.

 , інтеграл розбіжний.

 

 , інтеграл збіжний.

 .

Крім безпосереднього обчислення невласних інтегралів при дослідженні їх
на збіжність існують і інші методи.

Одним із таких методів можна встановити збіжність інтеграла Пуассона
(рис. 7.22)

 , (7.31)

 

Рис. 7.22

 не виражається через елементарні функції.

У деяких випадках достатньо встановити лише збіжність чи розбіжність
розглядуваного інтеграла, при цьому можна скористатися методом
порівняння, що базується на такій теоремі: 

 .

Звичайно, для порівняння вибирається інтеграл, збіжність якого відома,
наприклад інтеграл Діріхле.

 .

 .

 .

Обчислення невласних інтегралів 

від розривних (необмежених) функцій

 та при х = а має розрив 2-го роду.

 . 

Якщо ця границя існує, то інтеграл називається збіжним, а якщо не існує,
то — розбіжним.

Для обчислення таких невласних інтегралів використовують такі формули:

 , 

 . (7.32)

 ,

 (7.33)

 ,

 (7.34)

 не можна застосувати формулу Ньютона—Лейбніца.

 .

 .

 — невласний.

 

 інтеграл розбіжний.

Поняття подвійного інтеграла

Задача про обчислення об’єму циліндричного тіла (бруса).

 (рис. 7.23).

 

Рис. 7.23 Рис. 7.24

 . 

Тоді об’єм циліндричного тіла можна знайти у вигляді такої границі: 

 , (7.35)

 .

 по області D і позначається так: 

 (7.36)

Отже, подвійний інтеграл є прямим узагальненням понят-

тя звичайного визначеного інтеграла на випадок функції двох змінних.

 у відповідній області D.

Властивості подвійного інтеграла

 

 

 

 

Обчислення подвійного інтеграла 

зведенням до повторного інтеграла

 знову звернемось до задачі 7.2.9 обчислення об’єму тіла (рис. 7.17).

Скористаємось формулою (7.24) для визначення об’єму циліндричного тіла,
а отже, обчислимо відповідний подвійний інтеграл.

1. Випадок прямокутної області інтегрування.

Нехай 

 (7.37)

Переріжемо циліндричне тіло площиною, перпендикулярною до осі Ох.

 (рис. 7.24). Ця площа дорівнює такому визначеному інтегралу:

 (7.38)

Тоді за формулою (7.24) об’єм циліндричного тіла дорівнює такому
повторному інтегралу:

 (7.39)

Отже, об’єм циліндричного тіла можна обчислити за формулами (7.35),
(7.39):

 (7.40)

Зауваження. Для прямокутної області інтегрування порядок інтегрування
можна міняти місцями, тобто

 

2. Випадок довільної області інтегрування.

 

Рис. 7.25

Означення. Область D називається правильною щодо деякої осі, якщо
будь-яка пряма, паралельна цій осі, перетинає межу області не більш ніж
у двох точках.

 .

 .

 , а об’єм циліндричного тіла за формулою (7.24) запишеться так: