МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТОРГОВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КОЛОМИЙСЬКИЙ ЕКОНОМІКО-ПРАВОВИЙ КОЛЕДЖ

РЕФЕРАТ

з дисципліни „Вища математика”

розділ №3 „Диференціальне числення”

 на тему: „Теореми про диференціальні функції”

Виконала:

студентка групи Б–13

Довганюк Оксана

Перевірила:

Лугова Л.Б.

Коломия 2003 р.

– 1–

Правило Лопіталя

Теорема 1. Нехай в околі точки а задано неперервно диференційовані

функції f(x), ?(x). Причому f(а) = ?(а) = 0. Тоді в разі існування

границі відношення похідних цих функцій при х ( а існує і границя

відношення самих функцій при х ( а:

 (1)

 з околу точки а, на якому для функцій f (x) і ?(x) виконуються умови

теореми Коші. Отже між точками а і х, знайдеться точка ?, така що

або

 (2)

Переходячи в рівності (2) до границі при х ( а і враховуючи теорему про

границю частки двох функцій, дістаємо (1).

Зауваження 1. Правило Лопіталя можна застосувати кількаразово, якщо для

відповідної функції або похідної виконуються умови теореми Коші.

Зауваження 2. Функції f(x), ?(x), які неперервними і диференційованими

в околі точки х = а, у самій точці а можуть бути не визначеними. Але

якщо існують границі

Якщо функції f(x) і ?(x) невизначені в точці х = а, то визначаємо

значення функцій f(x) і ?(x) та їх граничні значення при х ( а:

це можна зробити, оскільки ми розглядаємо границю відношення функцій,

припускаючи, що в околі точки а виконується умова теореми Коші.

Теорема 2. Нехай функції f(x) і ?(x) неперервні і диференційовані на

пів прямій с < х < ( (–( < х < с), причому ?(x) на цій півпрямій не

перетворюється на нуль і водночас виконуються рівності:

 та справджується рівність

 . (3)

 . Отже, якщо x ( ( , то z ( 0. Маємо:

 .

Розглянемо границю відношення

 .

 .

На підставі здобутих результатів можемо розглядати границі відношення

нескінченно малих величин.

Границя відношення нескінченно малих величин дорівнює границі відношення

їх похідних, якщо остання існує у зазначеному щойно сенсі.

Приклад

(4)

Доведення. Розглянемо деякий окіл точки а, в якому виконується умова

теореми. У цьому околі візьмемо деяку точку й розглядатимемо х із

інтервалу ? < х < а ( аналогічно а < х < ? ).

 теорему Коші:

Отже,

 . Звідси випливає, що для будь–якого малого ? ( 0 виконується

нерівність

 ,

або

 . (5)

Знайдемо

Виберемо ? так, щоб для заданого ? справджувалась нерівність (5) і при х

( а виконувались співвідношення: f(x) ( ( і ?(x) ( (. Тоді

або

 . (6)

Перемножимо почленно (5) і (6):

 . (7)

Вибираючи значення ? достатньо малим і переходячи в останній нерівності

до границі при х ( а, дістаємо (4).

Аналогічно розглядається випадок, коли х ( (.

 :

(8)

Границя відношення нескінченно великих величин дорівнює відношенню їх

похідних у разі існування останніх.

Приклад

Зауваження. У формулах (4), (8) з існуванням границь відношення похідни