Шпаргалки з алгебри

1.Системи лінійних рівнянь. Сумісність, визначеність. Критерій

сумісності. Системи лінійних однорідних рівнянь. Фундаментальна система

розв’язків. Методи Гаусса і Крамера розв’язування системи лінійних

рівнянь.

 лінійних алгебраїчних рівнянь

 .

 , підстановка яких замість невідомих перетворює всі рівняння системи на

арифметичні тотожності. Система рівнянь називається сумісною, якщо вона

має хоч би один розв'язок. Якщо не має жодного розв'язку, то вона

називається несумісною.

називається розширеною матрицею системи (1).

 .

 , система мaє єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера:

Під елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь розуміють такі

операції:

зміна нумерації невідомих системи;

перестановка місцями рівнянь системи;

додавання до одного рівняння іншого, помноженого надовільне число.

Дві сумісні системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо всі

розв'язки першої системи є також розв'язками другої і, навпаки, всі

розв'язки другої системи є розв'язками першої. Якщо обидві системи не

сумісні, вони також називаються рівносильними.

ТЕОРЕМА 2. Внаслідок елементарних перетворень система рівнянь переходить

у рівносильну систему рівнянь (з урахуванням зміни нумерації невідомих).

1.Системи лінійних рівнянь

Нехай дано систему лінійних рівнянь (1). Метод Гаусса полягає в

послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень

системи.

 (цього завжди можна досягнути, змінюючи нумерацію невідомих).

 виключене.

 , додаючи до них друге рівняння, помножене на відповідний коефіцієнт.

Продовжуючи аналогічні дії у випадку, коли система сумісна, здобудемо

систему, в якій матриця коефіцієнтів при невідомих буде

трапецієподібною, тобто система матиме вигляд

 . У цьому випадку система має єдиний розв'язок.

Якщо після деякого елементарного перетворення розширеної матриці в ній

з'явиться рядок, що складається з нулів, за винятком останнього

елемента, то система рівнянь несумісна.

 лінійно незалежних розв'язків однорідної системи (2) називається

фундаментальною системою розв'язків однорідної системи.

1.Системи лінійних рівнянь

 невідомими має вигляд

 фундаментальна система розв'язків однорідної системи (2).

 – вільні невідомі. Виразимо базисні через вільні і запишемо систему

(2) у вигляді

 , де

 утворюють фундаментальну систему ров’язків однорідної системи (2).

2.Матриці і дії над ними. Обернена матриця. Матричний метод

розв’язування систем лінійних рівнянь.

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел

 –елементи матриці, де i означає номер рядка, а j – номер стовпця.

 – матрицею-рядком.

 .

 .

Рівність матриць. Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають

однакові розміри і всі їхні відповідні елементи збігаються.

 .

Операція знаходження суми матриць називається операцією додавання

матриць.

Властивості операції додавання матриць:

 (асоціативна властивість).

 .

Операція знаходження добутку матриці на число називається операцією