Реферат на тему: 

Різницеві лінійні рівняння

При використанні ПЕОМ усі неперервні за часом процеси дискретизуються.
Від неперервно змінних аргументів переходять до дискретно змінних
аргументів, бо цифрова машина може діяти тільки з числами. При цьому від
диференціальних рівнянь переходять до різницевих рівнянь. Зокрема,
економічні дані фіксуються дискретно, наприклад, через тиждень, місяць,
рік і т. п. Аналіз цих даних також приводить до різницевих рівнянь.
Наведемо основні положення про лінійні різницеві рівняння зі сталими
коефіцієнтами.

Оператор зсуву

Введемо символічний оператор S, дія якого на функцію у(х) полягає в
збільшенні значення аргументу на сталу величину h(h > 0):

 . (8.67)

Оператор S називається оператором зсуву. У загальному випадку рівність

 . (8.68)

Приклад. Справджуються такі рівності:

 ,

 .

 .

 .

 яку можна записати у вигляді символічної формули:

 (8.69)

У подальшому проводимо дискредитацію аргументу х, беручи

 (8.70)

Із попередніх формул (8.67) — (8.70) дістаємо рівність

 

На практиці користуємось функціями від оператора зсуву

 , (8.71)

які називаються операторами спадної і зростаючої різниць.

 .

Із формули

 , (8.72)

використовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо формулу для операторів
(k, що називаються спадними різницями порядку k

 

Аналогічні формули можна дістати для додатних степенів оператора зсуву S
через степені оператора (.

 (8.73)

Звідси знаходимо формули:

 

Зауважимо, що різниці k-го порядку від многочлена k-го порядку є
сталими.

 при x0 = 0, h =1 (табл. 8.2):

Таблиця 8.2

xn yn (yn (2yn (3yn

0

1

2

3

4

5

6 –1

–1

1

5

11

19

29 

0

2

4

6

8

10 

2

2

2

2

2 

0

0

0

0



Аналогічно знаходять зростаючі різниці функції у(х).

Інтерполювання функцій,

що задаються таблично

 .

Використовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо інтерполяційну формулу
Грегорі—Ньютона:

 . (8.74)

Приклад. Із таблиці 8.2 знайдемо значення функції у(х) при х = 3.5. 

( При xn = 3 знаходимо значення функції і її спадних різниць у(3) = 5,
(у(3) = 6, (2у(3) = 2, (3у(3) = 0.

З формули (8.74) при t = 0,5, h = 1 дістаємо:

 .

Аналогічно можна використати іншу формулу Грегорі—Ньютона

 (8.75)

 , можна знайти похідну функції у(х). З формули (8.69) знайдемо оператор
диференціювання:

 . (8.76)

З цієї формули знаходимо формулу чисельного диференціювання:

 . (8.77)

Приклад. Використовуючи таблицю 8.2, знайдемо значення у((4). 

 .

 

Підносячи рівність (8.76) у квадрат, дістаємо формулу для знаходження
похідної другого порядку:

 .

Підсумовування функцій

Наведемо відомий спосіб для обчислення суми виду

 . (8.78)

Введемо функцію (F)x, яка задовольняє різницеве рівняння

 . (8.79)

 і підсумовуючи рівняння, дістаємо рівність

 . (8.80)

 .

 :

 

Звідси знаходимо розв’язок різницевого рівняння (8.79) у вигляді
розкладу:

 (8.81)

Приклад. Знайдемо розв’язок різницевого рівняння 

 .

( З формули (8.81) при h = 1 дістаємо вираз 

 .

Знайдемо вираз для суми 

 .

З формули (8.81) знайдемо формулу Ейлера для виразу суми через