Вступ
. При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, а y –
залежною змінною, або функцією.
В цій роботі передбачається розглянути: О-символіку Ландау для функцій
однієї змінної, заданої в проколотому околі довести ряд тверджень про
арифметичні дії над О-символами та еквівалентними функціями; деякі
важливі границі; способи порівняння функцій та ін.
Розглянути метод виділення головної частини функції в застосуванні до
обчислення до границь. Теоретичні дослідження проілюструвати
розв’язанням вправПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ
ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ
В цьому пункті обчислюються границі, які неодноразово зустрічатимуться
надалі.
Лема 1.
(1.1)
Трикутник АОВ є частиною сектора АОВ, який у свою чергу є частиною
трикутника АОС; тому
отже,
або, замінюючи величини їм оберними
(1.2)
слідує рівність (1.1).
Наслідок 1.
(1.3)
Дійсно,
Наслідок 2.
(1.4)
, маємо
Наслідок 3.
(1.5)
Ця рівність випливає аналогічно попередній з (1.3).
Лема 2.
(1.6)
Рівність
(1.7)
натуральних чисел, такї, що
(1.8)
маємо
(1.9)
(1.10)
тому в силу (1.10)
що і означає виконання рівності (1.9).
тобто
(1.11)
Тому маємо:
(1.12)
Наголошуючи, що в силу (1,9)
і
, отримаємо
—первісна послідовність, яка задовільняє умовам (1.11), то тим самим
доведено, що
(1.13)
така, що.
тобто,
(1.14)
Тоді
,
де
і через вже доведену рівність (1.13)
була довільною послідовністю, що задовольняє умовам (1.14), тому
(1.15)
, яка також рівна е.
Наслідок 1.
(1.16)
Дійсно, використовуючи неперервність логарифмічної функції,
неперервність суперпозиції функцій і рівність (1.6), отримаємо:
Наслідок 2.
(1.17)
то
(1.І8)
еквівалентні. Застосуємо для обчислення границі (1.17) правило заміни
змінної.
, отримаємо
ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ
.
.
тоді
не існує.
і позначається:
).
ні про яку межу тут мови немає.
Доведення. З існування скінченої границі
,
.
, це записується у вигляді :
нескінченно малими одного порядку, бо
.
.
, що
(1.20)
і
(1.21)
бачимо, що умови (1.20) і (1.21) для вказаного проколеного околу
рівносильні умовам
тобто як говорять, еквівалентність двох функцій має властивість
|