Вступ

 . При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, а y –

залежною змінною, або функцією.

В цій роботі передбачається розглянути: О-символіку Ландау для функцій

однієї змінної, заданої в проколотому околі довести ряд тверджень про

арифметичні дії над О-символами та еквівалентними функціями; деякі

важливі границі; способи порівняння функцій та ін.

Розглянути метод виділення головної частини функції в застосуванні до

обчислення до границь. Теоретичні дослідження проілюструвати

розв’язанням вправПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ

ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ

В цьому пункті обчислюються границі, які неодноразово зустрічатимуться

надалі.

Лема 1.

 (1.1)

 Трикутник АОВ є частиною сектора АОВ, який у свою чергу є частиною

трикутника АОС; тому

отже,

або, замінюючи величини їм оберними

 (1.2)

 слідує рівність (1.1). 

Наслідок 1.

 (1.3) 

Дійсно,

Наслідок 2.

 (1.4)

, маємо

Наслідок 3.

 (1.5)

Ця рівність випливає аналогічно попередній з (1.3). 

Лема 2.

 (1.6)

Рівність

 (1.7)

 натуральних чисел, такї, що

 (1.8)

маємо

 (1.9)

 (1.10)

 тому в силу (1.10) 

 що і означає виконання рівності (1.9).

тобто

 (1.11)

 Тому маємо:

 (1.12) 

Наголошуючи, що в силу (1,9)

і

 , отримаємо

—первісна послідовність, яка задовільняє умовам (1.11), то тим самим

доведено, що

 (1.13)

 така, що.

тобто,

 (1.14)

 Тоді

 ,

де

і через вже доведену рівність (1.13)

 була довільною послідовністю, що задовольняє умовам (1.14), тому

 (1.15)

 , яка також рівна е.

Наслідок 1.

 (1.16) 

Дійсно, використовуючи неперервність логарифмічної функції,

неперервність суперпозиції функцій і рівність (1.6), отримаємо:

Наслідок 2.

 (1.17)

 то

 (1.І8)

 еквівалентні. Застосуємо для обчислення границі (1.17) правило заміни

змінної.

, отримаємо

ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ

.

.

 тоді

 не існує.

 і позначається:

). 

 ні про яку межу тут мови немає.

Доведення. З існування скінченої границі

,

 . 

, це записується у вигляді :

 нескінченно малими одного порядку, бо

.

.

, що

 (1.20) 

і

 (1.21)

 бачимо, що умови (1.20) і (1.21) для вказаного проколеного околу

рівносильні умовам

тобто як говорять, еквівалентність двох функцій має властивість