Реферат на тему: 

Функціональні ряди

Поняття функціонального ряду

Означення. Ряд 

 , (9.10)

 є функції від аргументу х, називається функціональним рядом. При х=х0
ряд (9.10) перетворюється на числовий

 (9.11)

Якщо ряд (9.11) збігається (розбігається), то кажуть, що при х=х0
збігається (розбігається) функціональний ряд (9.10).

Означення. Усі значення аргументу х, при яких функціональний ряд
збіжний, називаються областю збіжності функціонального ряду.

В області збіжності існує границя часткових сум функціонального ряду 

 ,

 — сума ряду.

 називається залишком ряду. 

 .

 така нерівність:

 

 

 .

 .

Властивості рівномірно збіжних рядів

1. Сума рівномірно збіжного ряду неперервних функцій є неперервна
функція.

2. Якщо ряд (9.11) рівномірно збіжний на інтервалі (а; b) та існують
границі

 

то виконується рівність

 

 , то

 

 , то

 

У загальному випадку, при дослідженні на збіжність функціонального ряду
використовується та сама методика, що і для знакозмінного ряду.

Приклад. Знайти область збіжності ряду 

 

 . Цей ряд буде знакододатний. Отже, маємо право застосовувати до нього
ознаку Даламбера, при цьому х вважатимемо деяким параметром:

 

 

За ознакою Даламбера ряд буде збігатись, якщо 

 

 .

 . У цій області ряд збігається абсолютно.

Степеневі ряди

Означення. Функціональний ряд

 (9.12)

 називаються коефіцієнтами степеневого ряду.

Розглядають і більш загальний вигляд степеневого ряду

 (9.13)

Якщо в (9.13) візьмемо х – с = у, то дістанемо ряд типу (9.12), тому
властивості ряду (9.12) неважко перефразувати і для ряду (9.13).

Теорема 14 (Абеля). Якщо степеневий ряд (9.12): 

 ;

 .

Ілюстрацію до теореми Абеля наведено на рис. 9.2.

 

Рис. 9.2

Інтервал і радіус збіжності 

степеневого ряду

Як наслідок із теореми Абеля для степеневого ряду (9.12) існує інтервал
збіжності з центром у точці х = 0 (рис. 9.3).

 

Рис. 9.3

 ряд є розбіжним; при цьому число R > 0 називається радіусом збіжності
степеневого ряду.

 має центр симетрії в точці х = с. 

Зауваження. На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках х = 

 ряд може як збігатись, так і розбігатись. Це питання потребує
спеціального дослідження в кожному випадку.

Виведемо формулу для знаходження радіуса збіжності ряду (9.12). Для
цього побудуємо ряд із абсолютних величин членів ряду (9.12): 

 (9.14)

 . Тоді, застосовуючи ознаку Даламбера до ряду (9.14), дістаємо: 

 .

 . Радіус збіжності визначається за формулою 

 . (9.15)

 .

Зауваження. Формулами (9.1) і (9.16) можна користуватися лише в тих
випадках, коли указані границі існують. У загальному випадку дослідження
збіжності степеневого ряду виконується за такою самою методикою, що і
для довільного функціонального ряду, наприклад такою, що була
використана під час виведення формули радіуса збіжності (9.15).

 .

 . За формулою радіуса збіжності (9.15) маємо:

 .

 .

Приклад. Знайти область збіжності ряду 

 

 , до якого застосуємо ознаку Даламбера 

 

 .

Проведемо дослідження збіжності ряду на кінцях інтервалу збіжності: