Операції на топологічних просторах

План

Підпростори.

Суми.

Добутки.

Фактор-простори та фактор-відображення.

Вступ

Темою моєї курсової роботи є операції на топологічних просторах, тобто

методи побудови нових топологічних просторів із заданих. Ідеї топології

беруть початок із робіт видатних математиків ХІХ ст.: Н. І.

Лобачевського, Рімана, Пуанкаре, Френне, Кантора, Гілберта та Браура.

Оформлення топології у самостійну область математики пов’язане із

виходом у 1914р. книжки Ф. Хаусдорфа “Теорія множин“.

Розділ 1 присв’ячений підпросторам. Тут ми вивчаємо звуження і

продовження неперервних відображень та функцій. Важливим результатом є

теорема Тітце-Урисона.

У розділі 2 описано суми топологічних просторів, які вперше появилися у

роботі Тітце у 1923р. Застосування операції суми інколи спрощує

доведення та розв’язання прикладів.

У третьому розділі я розглядаю операцію добутку. Порівняно із іншими

операціями на топологічних просторах, добуток приводить до найбільш

цікавих теорем, прикладів і задач. Френе першим розглядав декартів

добуток абстрактних просторів

Фактор-простори вперше появилися у роботі Мора і Александрова. Ці автори

вивчали частинний випадок, коли фактор-простір породжується

напівнеперервним зверху розбиттям. Мор вивчав тільки розбиття площини на

континууми.

1. ПІДПРОСТОРИ

 підмножини множини X і, яка задовольняє наступні умови:

 .

 .

 .

 ,а із рівності

випливає, що виконані також і умови2) і 3)).

 відкрита в X},як сім’ю відкритих множин в М, ми визначаємо на М

топологію. Множина М з цією топологією називається підпростором простору

X, а сама топологія називається індукованою топологією або топологією

підпростору.

 .

де Р = Х\и замкнене в X.

 .Доведено.

 ; дві визначені на L топології — топологія підпростору простору М і

топологія підпростору простору X — співпадають.

 відкрита в М тоді і тільки тоді, коли вона відкрита в Х.

 замкнене (відкритий) в тому і лише тому випадку, якщо підпростір М

замкнений (відкритий).

 замкнене (відкритий).

 .

 .

Формули, які відносяться до образів і прообразів при звуженнях:

 ;

 ;

 .

 - простору X наступні умови рівносильні:

Простір X є спадковим.

Кожен відкритий підпростір простору X нормальний.

 .

 .Оскільки М — відкритий підпростір простору X, то множини U і V

відкриті в X.

 відкриті в М, не перетинаються і містять відповідно А і В.

 , визначається формулою

неперервно продовжується на Х.

 неперервно продовжується на X.

 .

 ,що

 (1)

 . (2)

 ,яке задовольнятиме умови (1) і (2).

 неперервних відображень X в R, таку, що

 , (3)

 . (4)

 замість і.

 .Таким чином, F є продовження f на X.

 .

 є шуканим, продовженням f на X. Доведено.

 , не можна неперервно продовжити на X.

 неперервне.

 володіють необхідними властивостями.

 локально кінцеві), то комбінація f відкрита (замкнена).

2. СУМИ

 .

 .

 відкрите. Отже, дане твердження випливає із рівності

 Доведено.