Реферат на тему: 

Невизначений інтеграл

Поняття первісної

 .

Із означення виходить, що первісна F(x) — диференційовна, а значить
неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від
проміжку, на якому вона розглядається.

 мають вигляд:

 ;

 ;

 

Рис. 7.1

 ,

 , а F3(x) у точці х = 0 має розрив (рис. 7.1). У цьому прикладі
первісні Fі(x) і = 1, 2, 3, знайдені методом добору із наступною
перевіркою, з використанням таблиці похідних функцій.

Теорема 1 (про множину первісних). Якщо F(x) — первісна для функції f(x)
на проміжку І, то

1) F(x) + С — також первісна для f(x) на проміжку І;

2) будь-яка первісна Ф(х) для f(x) може бути подана у вигляді
Ф(х) = F(x) + С на проміжку І. (Тут С = const називається довільною
сталою.)

Наслідок. Дві будь-які первісні для однієї й тієї самої функ-

ції на проміжку І відрізняються між собою на сталу величину (рис. 7.1).

Задача інтегрування. Невизначений інтеграл

Означення. Операція знаходження первісних для функції f(x) називається
інтегруванням f(x).

Задача інтегрування функції на проміжку полягає у тому, щоб знайти всі
первісні функції на цьому проміжку, або довести, що функція не має
первісних на цьому проміжку.

Для розв’язування задачі інтегрування функції достатньо знайти одну
будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F(x), тоді (за
теоремою про множину первісних) F(x) + С — загальний вигляд всієї
множини первісних на цьому проміжку.

Означення. Функція F(x) + С, що являє собою загальний вигляд всієї
множини первісних для функції f(x) на проміжку І, називається
невизначеним інтегралом від функції f(x) на проміжку І і позначається 

 , (7.1)

 — знак невизначеного інтеграла;

f(x) — підінтегральна функція;

f(x)dx — підінтегральний вираз; 

dx — диференціал змінної інтегрування.

 

Рис. 7.2

 є рівняння однопараметричної сім’ї кривих, які утворюються одна з
одної паралельним перенесенням уздовж осі ординат (рис. 7.2).

Теорема 2 (Коші). Для існування невизначеного інтеграла для функції f(x)
на певному проміжку достатньо, щоб f(x) була неперервною на цьому
проміжку.

Зауваження. Виявляється, є такі невизначені інтеграли від елементарних
функцій, які через елементарні функції не виражаються, наприклад:

 

існують у кожному із проміжків області визначення, але записати їх через
основні елементарні функції не можна; в такому розумінні ці інтеграли
називають «неінтегровними».

Властивості невизначеного інтеграла

а) Властивості, що випливають із означення (7.1).

 .

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному
виразу.

 .

б) Властивості, що відображають основні правила інтегрування.

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака
інтеграла, тобто 

 (7.2)

V. Невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених
інтегралів від цих функцій, якщо вони існують, тобто 

 (7.3)

Таблиця основних інтегралів