Множина комплексних чисел

План

Виникнення та розвиток поняття комплексного числа.

Поняття комплексного числа.

Дії над комплексними числами.

Геометричне зображення комплексного числа.

Модуль і аргумент комплексного числа.

Тригонометрична форма комплексного числа.

Застосування комплексних чисел.

Виникнення та розвиток поняття комплексного числа.

“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа

снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно по мере того

как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более

широкое распространение” 

 Ф. Клейн.

 Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные

числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества

натуральных чисел. 

 . Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные

из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись

за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое

время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде

натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби.

Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “… элементы чисел

являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и

числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием,

сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата

несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей

недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со

стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия

начинается эра теоретической математики: открыть существование

несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному

рассуждению, было невозможно. 

 .

 нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через

буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий

(сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, 

извлечение корня).

 В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение,

степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не

менее всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и

комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом

математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе

многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков

упомянутая теорема была доказана Гауссом.

 (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря

К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в

1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь,

сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих

единое целое.

 В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы

мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. 

 . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы

таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.