Реферат на тему:

Мінімаксні оцінки в еліптичних рівняннях

 вигляду є розв'язком рівняння

 - білінійна форма, яка відповідає задачі (2).

 відповідно.

Будемо шукати оцінки лінійних функціоналів у вигляді величина являє собою максимальну середньоквадратичну похибку.  знахотяться з умови

 - мінімаксною похибкою оцінювання.задається у вигляді

 позначено простір невід'ємних симетричних обмежених операторів, для

яких існують обмежені обернені. . Покажемо тоді, що має місце

 може бути знайдене і умови  знаходиться з розв'язку системи рівняньПри цьому мінімаксна похибка оцінювання дорівнює Покажемо спочатку, що має місце  . Тоді має місце нерівність

 - довільне число.

додатно визначений, то

Отже, що можливо тоді і лише тоді, коли діскрімінант квадратного трьохчлена

недодатний, тобто одержимо

Звідки Значить,  симетрична відносно нуля, то  Далі, з нерівності (5) випливає, що

Звідки отримаєм, що , який може бути знайдений із розв'язку варіаційної нерівності де має вигляд

 відповідно на спряжені. Покажемо тоді, що має місце зображується у вигляді . Крім того, у даному випадку  отримується, якщо застосувати нерівність (5) до виразу

Тут знак рівності досягається на векторах

Враховуючи ці нерівності, одержуємо, що  вони співпадають. Отже, співпадають і оцінки, що і потрібно було

показати.  має вигляд

Покажемо тоді, що справедливе

Твердження 2. Існує єдина мінімаксна оцінка, яка може бути зображена у

вигляді знаходиться з нерівності  . При цьому мінімаксна похибка оцінювання дорівнює

Доведення. Розглянемо множину всіх оцінок зі скінченною похибкою

оцінювання. Зрозуміло, що

 опукла і замкнена. Опуклість цієї множини випливає з рівності

 , то

Звідси одержуємо замкненість цієї множини.

 з твердження 1 випливає, що

 , що і потрібно було показати.

 має вигляд

 (10)

 як розв’язки систем рівнянь

 (11)

 (12)

то має місце наступна

 зображується у вигляді

 може бути знайдений з умови

Враховуючи друге рівняння системи (6.11) одержимо, що

Подальше доведення теореми проводиться аналогічно доведенню відповідних

тверджень в теоремі 1.

 Тоді для визначення чисел xk одержимо систему лінійних алгебраїчних

рівнянь

 , яка визначається з розв’язку задачі (6.1) при обмеженнях (2), (6) і

(2), (10) відповідно.

 - тотожній оператор, тобто спостерігається вектор y вигляду