Реферат на тему: 

Лінійні диференціальні рівняння

Означення. ДР виду 

 

 то ДР називається неоднорідним.

 і т.д.

D називається оператором диференціювання, або диференціювальним
оператором.

ДР можна подати у вигляді

 

Введемо диференціювальний оператор

 

Тоді ДР можна записати у вигляді

 

 

 називають лінійно незалежними, якщо з рівності

 

 називаються лінійно залежними, якщо одна з них є лінійною комбінацією
решти, наприклад:

 

 

 -го порядку включно, то ці функції будуть лінійно незалежними, якщо
визначник Вронського для них

 

не дорівнює тотожно нулю.

 то вони називаються базисом або фундаментальною системою розв’язків
лінійного ДР.

 — фундаментальна система розв’язків лінійного однорідного ДР n-го
порядку, то однорідне ДР має загальний розв’язок

 

 — довільні сталі.

 то загальний розв’язок неоднорідного ДР має вигляд

 

 

Якщо відомий загальний розв’язок однорідного лінійного ДР, то знайдений
частинний розв’язок неоднорідного лінійного ДР завжди можна звести до
квадратур, тобто до інтегрування скінченної кількості відомих функцій.

Найкраще вивчено властивості лінійних ДР, тому вони частіше за все
використовуються на практиці. Часто нелінійні ДР замінюються близькими
до них лінійними ДР. Загальні властивості розв’язків лінійного ДР
розглянемо на прикладі лінійного ДР другого порядку

 (8.38)

 . Неоднорідне рівняння завжди може бути розв’язане, якщо знайдено
загальний розв’язок однорідного рівняння. Отже, розглядаємо в подальшому
властивості розв’язків однорідного лінійного ДР.

Загальні властивості розв’язків

однорідного лінійного ДР

І. Нехай відомі два частинні розв’язки ДР

 (8.39)

 теж є розв’язком ДР.

 теж є розв’язком ДР.

 теж є розв’язком ДР.

 .

 .

Означення. Функціональний визначник

 (8.40)

називається визначником Вронського.

ІІІ. Якщо два розв’язки (8.39) лінійно залежні, то їхній визначник
Вронського тотожно дорівнює нулеві.

ІV. Для визначника Вронського (8.40) виконується формула
Ліувілля—Остроградського

 (8.41)

 

 — лінійно залежні.

 . Це означає, що 

 .

VI. Якщо два розв’язки ДР (8.39) лінійно незалежні, то лінійні однорідні
ДР мають загальний розв’язок

 (8.42)

Для розв’язування задачі Коші з початковими умовами

 

дістаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для С1, С2

 (8.43)

 . Отже, система рівнянь (8.43) завжди має розв’язок.

VII. Якщо відомий один частинний розв’язок ДР, тоді другий розв’язок
знаходиться квадратурою.

 . Із формули (8.41)

 

Інтегруючи це рівняння, дістаємо інший зв’язок:

 . (8.44)

 . Із формули (8.44) знаходимо другий частинний розв’язок ДР:

 .

VIII. Якщо відомі два лінійно незалежні розв’язки однорідного ДР, то
розв’язування неоднорідного ДР (8.38) може бути зведене до квадратур. 

Для знаходження частинного розв’язку неоднорідного ДР використовується
метод варіації довільних сталих. Проілюструємо його на прикладі.

Приклад. Знайдемо частинний розв’язок ДР

 , (8.45)

 

( Однорідне рівняння має загальний розв’язок 

 

Шукаємо розв’язок неоднорідного рівняння у вигляді