Реферат

на тему:

Ймовірнісний зміст

нерівності Йєнсена.

Нові інформаційні технології в освіті неможливі без нової інформації в

конкретних навчальних дисциплінах. В останні роки невпинно зростає

кількість прихильників виховання ймовірнісного світогляду школярів і

студентів, що вивчають математичні дисципліни. При цьому дуже важливу

роль відіграють приклади проникнення ймовірнісних ідей, методів і

результатів у неймовірнісні розділи математики. Про один з таких

прикладів йде мова у цій роботі.

Нерівністю Йєнсена в математиці називають нерівність:

 , (1)

 , то нерівність Йєнсена записують так:

 , (2)

 . В загальному вигляді нерівність Йєнсена містить замість середніх

арифметичних середні зважені. Тобто

 (5)

Треба підкреслити, що нерівність Йєнсена має багато важливих застосувань

[1-5]. Зауважимо, що в дискретній формі нерівність була встановлена

О.Гельдером (Hoelder, 1889), а інтегральна нерівність – Й.Йєнсеном

(Jensen, 1906).

Інтегральну нерівність для угнутої функції записують так:

 . (7)

 , якщо

 (9)

 - лінійна функція.

 диференційована в цьому проміжку.

 дискретний розподіл має вигляд:

З точки зору теорії ймовірностей в означеннях (8) і (9) порівнюються

математичне сподівання (вибіркове середнє) функції і значення функції

від математичного сподівання аргумента (рис.1).

Рис.1. До означення опуклої (а) та угнутої (б) функцій.

 апроксимується сукупністю прямолінійних відрізків, і ми одержуємо

шукане узагальнення.

 має вигляд:

Математичне сподівання аргументу визначається так:

Математичне сподівання функції

 .

Зрозуміло, що в цьому випадку краще скористатися процедурою групування

вибірки і, спираючись на попередній результат, довести нерівність

Йєнсена для опуклої (1) та угнутої (2) функцій.

 - об'єм вибірки. Дискретний розподіл має вигляд:

 .

Нерівність Йєнсена в цьому випадку має вигляд:

 ,

 . (12)

 стоїть математичне сподівання випадкового аргумента:

 ,

в правих частинах маємо математичне сподівання функції випадкового

аргумента:

 .

Порівнюючи математичне сподівання функції випадкового аргумента і

значення функції від математичного сподівання аргумента, неважко

встановити, що (11) і (12) – це узагальнені означення опуклої і угнутої

функції відповідно (рис.2).

 .

 функції:

 .

 неоднакові. Така дискретизація застосовується при визначенні координат

центра ваги неоднорідного стержня. Тепер, спираючись на узагальнені

означення опуклої (11) і угнутої (12) функцій, неважко довести

нерівність Йєнсена з математичними сподіваннями (3) і (4). При цьому

дискретний розподіл має вигляд:

 опукла) або вище дуги (якщо функція угнута).

 :

 .

 :

 .

 , тому для опуклої функції

 ,

для угнутої

 .

В теорії ймовірностей такий незбіг функції середнього і середнього

функції називають "парадоксом оцінювання" [6]. Дослідження парадоксів –

кращий спосіб досягти взаєморозуміння фахівців в різних областях науки.

Спроби вивчати будь-яку область математики за допомогою парадоксів