Реферат на тему:

Ірраціональні рівняння

План

1. Розв’язування найпростіших ірраціональних рівнянь із відшуканням ОДЗ

2. Піднесення обох частин рівняння до квадрата

3. Метод заміни

4. Виділення повного квадрата

5. Множення обох частин рівняння на вираз, спряжений до виразу в лівій

частині

6. Однорідні ірраціональні рівняння

7. Розклад на множники

8. Рівняння з кубічними ірраціональностями

9. Заміна радикалів новими невідомими

10. Уведення параметра

11. Рівняння з модулями

12. Системи ірраціональних рівнянь

Ірраціональним називають таке рівняння, ліва і права частини якого є

алгебраїчними виразами, хоча б один із яких ірраціональний.

Нагадаємо, що ірраціональними називають такі алгебраїчні вирази, які

крім дій додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до

степеня з натуральним показником містять також і дії добування кореня

m-го степеня.

 називають також радикалами.

Приклади ірраціональних рівнянь:

 .

В елементарній алгебрі розглядаються лише такі ірраціональні рівняння, в

яких радикали парного степеня припускаються арифметичними

(невід’ємними), а непарного степеня — додатними або від’ємними, залежно

від знака підкореневого виразу.

Загальний метод розв’язування ірраціонального рівняння полягає в тому,

що спочатку ізолюють один радикал, а далі обидві частини рівняння

підносять до степеня, потім знову ізолюють радикал і т. д. Будь-яке

ірраціональне рівняння після скінченної кількості таких перетворень

можна звести до раціонального.

Рівняння, яке дістаємо в результаті, узагалі кажучи, не еквівалентне

заданому. Тому, знайшовши розв’язки цього рівняння, потрібно перевірити

їх підставленням у дане рівняння і відкинути як сторонні ті з них, які

не є розв’язками. Проте якщо обидві частини ірраціонального рівняння

підносились до непарного степеня, то перевіряти розв’язок не

обов’язково, бо в цьому разі прийдемо до рівняння, еквівалентного

даному.

Якщо рівняння містить радикали з невідомим у знаменнику, то його

потрібно звільнити від знаменника, виконавши відповідні перетворення.

Перш ніж приступити до розв’язування ірраціонального рівняння, доцільно

визначити область допустимих значень (ОДЗ) для невідомого. У деяких

випадках після цього відпадає потреба в розв’язанні.

Нехай, скажімо, маємо рівняння

 .

 . Отже, у множині дійсних чисел це рівняння не має розв’язків (не існує

дійсних значень х, для яких обидва підкореневі вирази невід’ємні).

1. Розв’язування найпростіших ірраціональних рівнянь із відшуканням ОДЗ

Приклад. Розв’язати ірраціональне рівняння

 .

 рівняння і не є його коренями.

Приклад. Розв’язати рівняння

 .

 .

Приклад. Розв’язати рівняння

 .

 і є стороннім. Поділивши обидві частини рівняння на х – 2, дістанемо:

 . (

Зауважимо, що іноді перш ніж розв’язувати рівняння, доцільно з’ясувати,

чи можуть його ліва та права частини бути рівними між собою. Якщо ні, то

рівняння, очевидно, не має розв’язків.

Приклад. Розв’язати рівняння