Реферат на тему: 

Функції багатьох змінних

Множини точок на площині

та в n-вимірному просторі

 будуть координатами 

цієї точки. З метою скорочення запису далі розглядатимемо множини точок
на площині, але подані далі означення можна вважати правильними і в разі
n-вимірного простору.

Означення. Множина точок називається зв’язною, якщо будь-які її дві
точки можна сполучити ламаною лінією так, щоб усі точки цієї лінії
належали цій множині.

Приклад. На рис. 5.1 у випадку а) буде зв’язна множина, а у випадку б) —
не зв’язна.

 

 а) б)

Рис. 5.1

Означення. Множина точок називається обмеженою, якщо всі її точки
належать множині точок круга скінченного радіуса.

Приклад. На рис. 5.2 у випадку а) маємо обмежену множину, а у випадку б)
— необмежену.

 

а) б)

Рис. 5.2

Означення. Множина точок, координати яких задовольняють нерівність

 (5.1)

 .

Зауваження. У випадку двовимірного простору нерівність (5.1) можна
подати у вигляді

 

 

Рис. 5.3

 (рис. 5.3).

 .

Означення. Точка називається внутрішньою для множини точок, якщо вона
належить цій множині разом з деяким своїм (-околом, і зовнішньою, якщо
існує її окіл з точок, жодна з яких не належить цій множині.

Означення. Зв’язна множина, яка складається тільки з внутрішніх точок,
називається відкритою областю (або просто областю).

Область позначатимемо:

 .

 

У частинному випадку, коли D — прямокутник, область позначатимемо

 .

Приклад. На рис. 5.4 множина точок D — область:

 .

Означення. Точка називається межовою для області, якщо в будь-якому її
(-околі існують точки, що не належать області і належать їй.

Означення. Множина межових точок називається межею області.

Означення. Область, об’єднана зі своєю межею, називається замкненою
областю.

 — рівняння межі області, К — внутрішня, L — зовнішня, М — межова
точка.

Означення. Множина називається опуклою, якщо будь-які точки множини
можна зв’язати відрізком, який буде належати цій множині.

 

 Рис. 5.4 Рис. 5.5

5.1.2. Означення функції 

багатьох змінних

 . При цьому D називають областю визначення функції, Е — областю значень
функції.

 .

 на площині поставлено у відповідність тільки одне число z. Для
прикладних питань економіки має значення розгляд функції двох або трьох
незалежних змінних. Тому в подальшому більше уваги звертатимемо на ці 

функції.

Наведемо приклади функції двох змінних.

 .

Це є функція витрат виробництва.

 .

Приклад. Припустимо, що предметами споживання будуть два товари А та В,
ціни яких відповідно становлять p1 та p2. Якщо ціни інших товарів сталі,
а прибуток споживачів та структура споживань не змінюються, то попит та
пропозиція кожного з товарів залежить від їх цін.

 .

Способи задання функції

Як і функцію однієї змінної, функції двох змінних можна зобразити:

— аналітично (у вигляді формули), наприклад:

 ,

— таблично (у вигляді таблиці), наприклад:

( у

 ;

— графічно:

 

Для графічного зображення функції двох змінних використовуємо систему
координат Оxyz у тривимірному просторі (рис. 5.6).