Реферат на тему:

Елементи векторної і матричної алгебри

Д1.1.Основи векторноi алгебри

Основні закони механіки формулюються у векторній формі. Необхідною

умовою переведення їх у скалярну форму є вміння вільно користуватися

апаратом векторної й матричної алгебри.

 , або його модулем) і напрямком у просторі.

 , початок якого збігається з початком першого вектора, а кінець - із

кінцем другого вектора за умови, що початок другого вектора суміщено з

кінцем першого (правило трикутника або правило паралелограма):

 . (Д1.1)

 між додатними напрямками векторів:

 , (Д1.2)

 :

 .

 є одиничним, їхній скалярний добуток дорівнює величині проекції іншого

вектора на напрямок одиничного.

 є одиничними, їхній скалярний добуток дорівнює косинусові кута між

напрямками цих векторів.

Наслідок 3. Якщо вектори паралельні, їхній скалярний добуток дорівнює

добутку довжин цих векторів.

Наслідок 4. Скалярний добуток вектора на себе дорівнює квадратові його

довжини:

 .

Наслідок 5. Скалярний добуток ортогональних векторів дорівнює нулеві.

 ввижається здійснюваним проти годинникової стрілки, і рівний площі

паралелограма, побудованого на векторах-співмножниках як на сторонах

 . (Д1.3)

 на протилежний, а величина його залишиться тою самою. Цю властивість

векторного добутку називають його антикомутативністю.

Наслідок 6. Векторний добуток паралельних векторів дорівнює нулю.

Наслідок 7. Векторний добуток вектора на себе дорівнює нулю.

Наслідок 8. Довжина вектора, що є векторним добутком двох ортогональних

векторів, дорівнює добутку довжин векторів-співмножників.

 є скаляром, що чисельно дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого

на векторах-співмножниках, як на сторонах.

Векторно-скалярний добуток припускає циклічне переставляння:

 . (Д1.4)

 , що є еквівалентним записом).

Якщо у зазначених комбінаціях поміняти місцями два сусідніх вектори,

одержаний результат змінить свій знак на протилежний:

 . (Д1.5)

Наслідок 9. Якщо два із трьох векторів паралельні, то їхній

векторно-скалярний добуток дорівнює нулю. Зокрема, якщо серед трьох

векторів двічі зустрічається той самий, їхній векторно-скалярний добуток

дорівнює нулю.

Наслідок 10. Векторно-скалярний добуток трьох взаємноортогональних

векторів дорівнює добутку довжин усіх трьох векторів.

 , що перемножуються першими, і тому припускає розкладання по напрямках

цих векторів, як складових:

 . (Д1.6)

Формула (6) часто використовується у механіці твердого тіла й теорії

гіроскопів. З метою полегшення її запам'ятовування її називають "бац

минус цаб".

Примітки.

 :

 .

 ).

У випадку, коли у подвійному векторному добутку зустрічаються два

однакових вектори, одержимо:

 . (Д1.7)

Д1.2. Форми подання векторів

Вектори й результати операцій над ними можуть бути подані у кількох

математичних формах. Одна з них, яку щойно було застосовано, називається

векторною і є найбільш узагальненою, бо не залежить від вибору

координатного базису.

Існують і інші форми подання векторів. Усі вони потребують попереднього