Реферат на тему:

Елементи векторної алгебри

Системи координат

Три взаємно перпендикулярні осі Ох, Оу, Оz, які мають спільний початок

точку О і однакову масштабну одиницю, утворюють прямокутну декартову

систему координат у просторі. Якщо таких осей дві: Ох і Оу, то маємо

систему координат на площині.

Таким чином, кожній точці простору відповідає впорядкована трійка чисел

(x, y, z), а на площині — впорядкована пара чисел (x, y), тобто

встановлюється відповідність між геометричним образом — точкою і

впорядкованою множиною чисел. Ця відповідність дає можливість

використовувати рівняння для відображення геометричних образів, таких як

лінія, площина тощо, та застосовувати алгебраїчні методи для

розв’язування геометричних задач.

Полярна система координат складається з деякої точки площини О, яка

називається полюсом, променя ОА, що виходить з цієї точки і називається

полярною віссю. Крім того, задається одиниця масштабу для вимірювання

довжин відрізків.

Полярними координатами точки М називаються числа ( — відстань від полюса

О до точки М і ( — кут, на який треба по-

вернути полярну вісь ОА до її збігу з ОМ, проти годинникової стрілки.

Зв’язок між полярними і декартовими координатами точки (рис. 2.4)

встановлюють формули:

Приклад. Знайти полярні координати точки М (2, 2).

Розглянемо такі перетворення систем координат:

1) паралельний зсув осей, коли змінюється положення початку системи

координат, а напрям осей залишається таким самим;

2) поворот осей, коли обидві осі повертаються на деякий кут відносно

початку системи координат.. Знайдемо зв’язок між ними. З рис. 2.5 бачимо, що

2. Повернемо тепер стару систему координат Оху відносно точки О на кут (

і дістанемо нову систему Ох(y( (рис. 2.6).

Розглянемо також дві полярні системи координат з полюсом у точці О і

полярними осями Ох і Ох(. Тоді згідно з рис. 2.6 маємо

 .

Крім того, ( = ( + (, підставляючи це значення ( у формули, остаточно

будемо мати:

 (2.3)

 дістаємо:

 = – х sin( + y cos(.

 координатами точки.

Вектори, лінійні операції над векторами

 .

Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим

вектором.

 і напрям щодо деякої осі.

 називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на

паралельних прямих.

 вважаються рівними, коли вони: 1) колінеарні; 2) однаково напрямлені;

3) їхні довжини рівні.

З останнього випливає, що при паралельному перенесенні вектора дістаємо

новий вектор, що дорівнює попередньому, тому вектори в аналітичній

геометрії називають вільними.

 .

Рис. 2.7

 протилежний напряму l.

 . З рис. 2.7 випливає формула знаходження проекції вектора на вісь:

 ,

  — кут між вектором і віссю.