Реферат на тему: 

Дослідження функції двох змінних

Екстремум функції двох змінних

 .

Точки максимуму й мінімуму називаються точками екстремуму.

 або дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

 . Якщо:

 ;

 ;

 немає екстремуму.

 , тоді потрібні додаткові дослідження.

 на екстремум

 .

 .

 .

4. Обчислити значення частинних похідних другого порядку в стаціонарних
точках.

 і зробити висновки на базі теореми 5.21.

 .

 .

 . Таким чином, у точці (1; 2) функція може мати екстремум.

 .

 .

Приклад. Дослідити на екстремум функцію двох змінних:

 .

 :

 .

 .

Отже, (0; 0) — стаціонарна точка.

 :

 .

4. У точці (0; 0)

 .

 .

5. Точка (0;0) — мінімум, хоча це ясно і безпосередньо.

Алгоритм знаходження екстремумів за допомогою матриці Гессе

 .

 

 .

ІІ. Складаємо матрицю Гессе

 

 .

Можливі два випадки:

 . Цей випадок потребує розглядання частинних похідних порядка більше 2.
Ми його розглядати не будемо.

 .

 .

 

 — еліптична;

 

 — еліптична

 — гіперболічна

 — від’єм. визн.

В. Сідлова

 — невизначена 



Приклади. Знайти екстремуми заданих функцій:

 

 

 

 

 

 ? Н — невизначена. Отже, точка (0; 0) — сідлова точка.

 .

 

 

 

 

 

 ? Н — додатно визначена.

 — точка мінімуму.

 .

 

 

 

 

 .

 

 .

Зауваження. Ми навели певні аналітичні ознаки для знаходження
екстремумів. Існують і більш строгі ознаки. Але в деяких випадках
встановити, чи має функція мінімум або максимум, можна за умовою задачі.

Приклад. Показати, що прямокутний паралелепіпед з найбільшою бічною
поверхнею є куб.

 — ребра паралелепіпеда.

 — бічна поверхня паралелепіпеда, то

 .

 дві незалежні, нехай це будуть х і y, тоді

 .

 ,

 ,

 .

Значення х = 0, y = 0, очевидно, не можуть дати максимуму. Отже,

 .

Розв’язавши ці рівняння разом із рівнянням

 

 .

Ці рівняння мають єдиний розв’язок, і ним визначається максимум.

Приклад. На площині

 

знайти точку, найменш віддалену від початку координат.

 на заданій площині від початку координат є

 

Коли ця відстань досягає мінімуму, то

 

тобто

 

Із рівняння площини маємо:

 

 і підставимо в попереднє рівняння. Дістанемо

 

 мають дорівнювати 0:

 .

 дає шуканий мінімум.

Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної функції на
замкненій обмеженій множиніЕ