Реферат на тему: 

Диференційовність функції двох змінних

Частинні та повний прирости функції двох змінних

 також належатимуть розглядуваному околу (рис. 5.18).

 

Рис. 5.18

 . Таким чином, 

 ,

 .

Зауваження. Аналогічно визначаються прирости функції більш ніж двох
змінних.

Диференційовність функції двох змінних

 можна подати у вигляді:

 ,

 .

 

 .

 і вони дорівнюють відповідно А і В.

 визначена в точ-

 змінна х вважається сталою.

Тепер можна сформулювати теорему 13 інакше:

 у точці).

 .

 .

 дістанемо: 

 .

 Дістанемо:

 .

 .

 

 

 

 .

 :

 

 можна обчислити за формулою

 .

 обчислюється за формулою

 .

 .

 .

 .

 .

 , де

 ;

 , отже,

 .

 .

Достатня умова диференційовності функції двох змінних у точці

Для функції однієї змінної твердження щодо її диференційовності та
існування похідної є рівносильними. У випадку функції двох змінних ми
маємо інше: існування частинних похідних — необхідна умова
диференційовності функції в точці, але не є достатньою умовою
диференційовності: наприклад, для функції

 

 недостатньо тільки існування частинних похідних: потрібно додатково
вимагати неперервності частинних похідних, що випливає з поданої далі
теореми.

 .

Зауваження. Можна навести твердження про зв’язок між поняттями
неперервності і диференційовності функції двох змінних у точці,
аналогічні до тих, що виконуються для функції однієї змінної.

 , то вона неперервна в цій точці. Обернене твердження неправильне.

5.2.4. Диференціювання складної функції

 , причому

 .

 .

 .

 .

 .

Дотична площина та нормаль

 , то виконується рівність

 

або

 

 , дістанемо:

 (5.3)

На формулі (5.3) ґрунтується алгоритм використання диференціала для
наближених обчислень.

 , дістанемо

 

 .

 має вигляд:

 , (5.4)

 .

 і перпендикулярна до дотичної площини. Отже, її рівняння

 .

Похідна за напрямом. Градієнт

 , якщо вона існує, називається похідною