Реферат на тему: 

Диференціальні рівняння першого порядку

Основні поняття

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить
похідну шуканої функції. Найбільший порядок похідних називається
порядком диференціального рівняння.

У загальному випадку диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд

 

Далі замість слів «диференціальні рівняння» використовуватимемо
позначення ДР.

 — ДР третього порядку.

Диференціальне рівняння може визначити функцію багатьох змінних.

Приклад. Рівняння з частинними похідними

 

має розв’язок

 

який називається функцією Кобба—Дугласа.

У запропонованому розділі розглянути лише диференціальні і різницеві
рівняння, в яких шукана функція залежить лише від одного аргументу. Такі
рівняння називаються звичайними.

У даній темі вивчаємо ДР першого порядку, які в загальному вигляді можна
записати рівнянням 

 (8.1)

Це — ДР рівняння, що не розв’язане відносно похідної. Якщо рівняння
(8.1) можна розв’язати відносно похідної, то рівняння (8.1) подаємо у
вигляді 

 . (8.2)

 .

 , тоді ДР першого порядку можна записати в симетричній формі

 (8.3)

 називається інтегральною кривою.

Приклад. Задача інтегрування функцій може бути розглянута як задача
інтегрування ДР

 

і має розв’язок

 

який знаходиться інтегруванням, тобто квадратурою.

Інтегральні криві утворюються зсувом однієї з них вздовж осі у.

 .

 

 , де С — довільний параметр.

Задача Коші

 .

 , що задовольняє умови

 (8.4)

 називаються початковими значеннями.

Теорема існування та єдиності розв’язків

 неперервна в області D і задовольняє в області D умову Ліпшиця:

 (8.5)

 .

 .

Умови (8.5) можна замінити іншою умовою:

 (8.6)

Означення. Точки, в яких порушується єдиність розв’язків ДР, називаються
особливими. Розв’язок ДР називається особливим, коли всі точки на
розв’язку особливі.

Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку 

 

 є особливою точкою ДР.

Наведемо приклади поводження інтегральних кривих в околі особливої точки
(рис. 8.1).

 

Рис. 8.1

 

Інтегральними кривими є гіперболи. Особлива точка (0; 0) є сідлом.

 .

 при фіксованому значенні сталої С називається частинним розв’язком.

 

( Справді, маємо тотожність:

 

 знаходимо значення довільної сталої С

 

Якщо довільна стала виражена через початкові дані, то загальний
розв’язок називається розв’язком у формі Коші.

 у формі Коші.

 

 то рівняння називається загальним інтегралом ДР.

Розв’яжемо диференціальне рівняння

 

Рівняння можна записати у вигляді 

 

 

 Криві, в точках яких не виконані умови єдиності рішень, називають
дискримінантними кривими.

 

( Його можна записати у вигляді

 

 

 

 

Дискримінантна крива y = 0 є розв’язком ДР, але не є частинним
розв’язком. Цей особливий розв’язок можна було знайти 

 має розрив при 

y = 0. Інтегральні криві наведено на рис. 8.2.

 

Рис. 8.2

Не завжди дискримінантна крива визначає рішення ДР.

 

 знаходимо дискримінантну криву

х = 0, яка не визначає ніякого рішення ДР. Інтегральні криві ДР