Реферат на тему: 

Алгебраїчні вирази та їх перетворення

Основні поняття та формули

В алгебрі вивчаються дії з числовими та буквеними величинами, а також
розв’язання рівнянь, пов’язаних із цими діями. При цьому буквеним
величинам можуть надаватися конкретні числові значення.

Одночленом називається добуток кількох співмножників, що є числами або
буквами.

Окремі числа і букви також вважаються одночленами. Наприклад, 2bху,
–3х2z5, 6, у — одночлени.

Многочленом називається сума одночленів. Наприклад, 2bху + + 7х2 + 3 —
многочлен.

Основу всіх алгебраїчних дій становлять такі закони додавання і
множення:

Переставний закон:

а + b = b + а, аb = bа.

Сполучний закон:

(а + b) + c = а + (b + с), (аb)c = а(bс).

Розподільний закон:

(а + b)c = аc + bс.

При виконанні перетворень алгебраїчних виразів використовуються такі
підходи:

1. Зведення подібних членів. Якщо кілька доданків мають однакові буквені
частини, то їхні числові коефіцієнти додаються, а буквена частина
зберігається. Наприклад, 9а2b – 3а2b – 4а2b = (9 – – 3 – 4)a2b = 2a2b.

2. Винесення множника за дужки здійснюється на основі розподільного
закону і правил дій зі степенями. Наприклад, 4ax2y + + 3а2bху2 – 2abx2 =
ax(4xy + 3aby2 – 2bx2).

3. Розкриття дужок також здійснюється за допомогою розподільного закону.
Необхідно пам’ятати, якщо множник перед дужками має від’ємний знак, то
при їхньому розкритті змінюються знаки всіх доданків. Приклади:

2mn2(mx – 3уn3 + 5) = 2m2n2x – 6mn5у + 10mn2;

–ab(3a – 2b + 4) = –3a2b + 2ab2 – 4ab.

4. Формули скороченого множення:

(а + b)2 = а2 + 2аb + b2,

(а – b)2 = а2 – 2аb + b2,

(а – b)(а + b) = а2 – b2,

(а + b)3 = а3 + 3a2b + 3аb2 + b3,

(а – b)3 = а3 – 3а2b + 3аb2 – b3,

(а + b)(а2 – ab + b2) = а3 + b3,

(а – b)(а2 + ab + b2) = а3 – b3.

2.2. Ділення многочленів

Однією із важливих вій в алгебрі є дія ділення многочленів.

 

 

 — не нуль-многочлен.

 щоб

 (1)

 — многочленом-остачею.

 завжди виконуване, а частка і остача визначаються остаточно.

 

Для ділення многочлена, що залежить від однієї змінної х, на многочлен
меншого степеня використовують такий алгоритм ділення стовпчиком:

1. Розмістити доданки в многочленах у порядку спадання степеня змінної.

2. Поділити перший доданок діленого многочлена на перший доданок
дільника і результат написати в частку.

3. Помножити результат на дільник і відняти його від діленого.

4. Виконати зі здобутим після віднімання многочленом дії згідно з п. 2 і
3. 

Повторювати зазначені операції доти, доки після віднімання не дістанемо
або нуль, або многочлен степеня, меншого, ніж у дільника. Цей многочлен
називається остачею.

Приклад. Виконати ділення многочленів:

(12х2 – 5х – 7х3 + 3 + 3х4) : (3 + х2 – 2х).

1. Розмістимо доданки в многочленах у порядку спадання степенів змінної
х:

12х2 – 5х – 7х3 + 3 + 3х4 = 3х4 – 7х3 + 12х2 – 5х + 3 — ділене;

3 + х2 – 2х = х2 – 2х + 3 — дільник.

2. Поділимо перший член діленого 3х4 на перший член дільника х2.
У результаті знайдемо перший член частки 3x2.

3. Помножимо 3х2 на дільник і здобутий результат 3x4 – 6х3 + 9х2