Вільні гармонійні коливання пружної системи з одним ступенем свободи

Задача про гармонійні коливання системи з одним ступенем волі

розглядаються в курсі теоретичної механіки. Як пружну система звичайно

розглядають вантаж, підвішений до вертикально розташованої пружини (рис.

15.5).

Рис. 15.5. Гармонійні коливання системи з одним ступенем волі

 (зневажаючи масою пружини) можна одержати, користуючись принципом

д'Аламбера. Дорівнюючи до нуля суму проекцій на вертикальну вісь всіх

сил, що діють на вантаж, одержуємо

,

звідки

,

або

;

 — жорсткість пружини, чисельно дорівнює силі, що викликає розтягання

пружини, рівне одиниці довжини;

 — прискорення сили ваги;

.

:

 — постійні інтегрування, що залежать від початкових умов. За початок

відліку переміщень вибирається положення вантажу, що відповідає стану

рівноваги.

, то з рівняння (15.3) визначаються постійні інтегрування:

, рівняння (15.3) можна представити також у вигляді

;

при цьому амплітуда коливань

,

або

.

 може бути визначене з умови

.

З рівняння (15.2) кругова частота власних коливань визначиться формулою

, кругову частоту можна також представити так:

.

.

 (час одного повного коливання) по формулі

. (15.6)

Величина, зворотна періоду коливань, визначає число коливань в одиницю

часу (секунду) і зветься секундною частоти:

.

Секундна частота коливань звичайно виражається в герцах; число герців

дорівнює числу коливань у секунду.

 пружини.

 абсолютне подовження стрижня, як відомо, визначається формулою

.

, рівній одиниці, являє собою шукану жорсткість:

 являє собою масу вантажу, можна записати

. (15.9)

З формул (15.8) і (15.9) видно, що частота вільних коливань системи

зростає зі збільшенням жорсткості, або, що те ж, зі зменшенням статичної

деформації, викликуваної даним вантажем. Легко переконатися, що вантаж,

підвішений до пружного стрижня, володіє значно більш високою власною

частотою коливання, чим той же вантаж, підвішений до податливої пружини.

Відношення частот власних коливань вантажу, прикріпленого до двох різних

стрижнів, обратно пропорційно кореню квадратному з відношення статичних

подовжень стрижнів.

 .

Кругова частота коливань, відповідно до формули (15.8),

 .

Таким чином, частота коливань вантажу відповідає:

 .

 , якщо від першого способу кріплення його перейти до другого,

розрізавши пружину на дві рівні частини й закріпивши вантаж посередині

(рис. 15.6).

Рис. 15.6. До прикладу 15.2

Частота коливань вантажу, підвішеного на пружині,

 ;

 ,

  — жорсткість пружини;

  — модуль пружності при зсуві.

Для першої схеми

 .

У другій схемі кожна частина пружини буде мати більшу жорсткість

 .

У першому випадку переміщення вантажу

 .

 . Тому переміщення вантажу

 .

Частота коливань вантажу, підвішеного на пружині по першій схемі,

 .

Частота коливань вантажу, підвішеного по другій схемі,

 .

Співвідношення частот коливань

 ,

тобто при заміні способу підвісу вантажу частота збільшиться у два рази.

 .

Рис. 15.7. До прикладу 15.3

 .

Тоді період коливань