Сутність варіаційних методів рішення. Метод Рітца – Тимошенко Сутність варіаційних методів розв’язання Більшість задач теорії пружності зводиться до диференціальних рівнянь із заданими граничними умовами. Точного розв’язку багатьох важливих для практики задач дотепер не отримано, тому що інтегрування диференціальних рівнянь, до яких вони зводяться, викликає значні математичні труднощі. Тому важливе значення набули варіаційні методи, що дозволяють ефективно одержувати наближене розв’язки диференціальних рівнянь із точністю, достатньої для інженерних розрахунків. Сутнсть варіаційних методів полягає в тому, що функцію, що задовольняє диференціальному рівнянню при заданих граничних умовах, заміняють наближеним аналітичним виразом, що підбирається так, щоб воно щонайкраще апроксимувало цю функцію. У теорії вигину пластинок такий підхід дозволяє звести інтегрування основного диференціального рівняння в частинних похідних до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь або до розв’язання звичайного диференціального рівняння.  можна вибирати у вигляді ряду з кінцевим числом членів:  — постійні параметри, що підлягають визначенню. З різноманітних варіаційних методів розглянемо два: методи Рітца-Тимошенко й метод Бубнова-Гальоркіна. Метод Рітца-Тимошенко Метод Рітца-Тимошенко заснований на використанні відомого з курсу теоретичної механіки принципу можливих переміщень: для рівноваги системи, підлеглої ідеальним утримуючим зв'язкам, необхідно й досить, щоб сума елементарних робіт всіх прикладених до неї сил на всякому можливому переміщенні рівнялася нулю. Розглядаючи окремо дію зовнішніх і внутрішніх сил, принцип можливих переміщень можна представити в такий спосіб:  — робота внутрішніх сил, що представляє собою збільшення потенційної енергії на тому ж можливому переміщенні зі зворотним знаком. Робота, виконувана об'ємними силами в повному об’ємі тіла V дорівнює інтегралу по цьому об’єму від суми елементарних робіт, виконуваних кожною зі складових: Робота, виконувана поверхневими силами, що діють по всій поверхні тіла s, дорівнює інтегралу по цій поверхні від суми елементарних робіт, чинених кожною зі складових поверхневих сил: Таким чином, робота всіх зовнішніх сил на можливих переміщеннях дорівнює сумі робіт об'ємних (б) і поверхневих (в) сил:  у формулі (г) можна винести за знаки інтегралів і за дужки:  підраховується відповідно до інтеграла (3.20): де W — питома потенційна енергія.  загальним для обох доданків, одержуємо Вираз, що стоїть в дужках, являє собою роботу всіх зовнішніх і внутрішніх сил, прикладених до тіла. Ця різниця із протилежним знаком є потенційною енергією системи зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на пружне тіло: Вводячи це позначення в умову (ж), одержуємо  з точністю до нескінченно малих величин вищого порядку дорівнює її першому диференціалу, тому замість умови (з) можна написати а це означає, що потенційна енергія системи має екстремальне значення. У курсі теоретичної механіки доводиться теорема Лагранжа-Діріхле, на