Реферат на тему

Стаціонарне електричне поле у вакуумі

Диференціальні оператори і рівняння теорії полів у різних системах

координат

а) Декартові координати (x, y, z):

Градієнт скалярного поля ?(x, y, z):

 . (1.1а)

 :

 . (1.2а)

 :

 . (1.3а)

Оператор Лапласа

 . (1.4а)

 :

 . (1.5а)

б) циліндричні координати (r, ?, z):

Складові градієнта скалярного поля ?(r, ?, z):

 . 1б)

 :

 . (1.2б)

 :

 , (1.3б)

 .

Оператор Лапласа

 . (1.4б)

 :

 . (1.5б)

в) сферичні координати (r, ?, ?):

Складові градієнта скалярного поля ?(r, ?, ?):

 . (1.1в)

 :

 . (1.2в)

 :

 , (1.3в)

 .

Оператор Лапласа

 . (1.4в)

 :

 . (1.5в)

Основні теореми і формули теорії векторних полів

Наступні теореми, дозволяють перетворювати одне в одного потрійні,

поверхневі і криволінійні інтеграли.

Теорема Остроградського – Гаусса.

 , (1.6)

 - вектор нормалі до зовнішньої частини цієї поверхні, проведений з

серединної точки елемента d?.

Теорема Стокса.

 , (1.7)

 - вектор нормалі до цієї поверхні, проведений з серединної точки

елемента d? так, що він утворює правогвинтову систему з напрямком обходу

контуру.

Властивості диференціальних операторів:

 ;

 ;

 ;

 ;

 ;

 ;

 .

Новий матеріал.

Електричне поле, створюване заданим розподілом зарядів. Рівняння

Пуассона і Лапласа. Потенціал точкового і просторово розподілених

зарядів. [2, 3]

Потенціал системи зарядів на великих відстанях (мультипольне

розвинення). [2, 3]

Електростатичне поле у дипольному наближенні, дипольний момент. [3]

Енергія електростатичного поля у вакуумі. Система нерухомих зарядів у

зовнішньому електричному полі. [2, 3]

 , знаходиться за формулою:

 . (1.8)

 знаходиться як векторна сума напруженостей полів, створених у цій

точці кожним із зарядів:

 . (1.9)

У випадку зарядженого тіла, що займає область простору ?, обмежену

поверхнею ? формула (1.9) набуває вигляду:

 , (1.10)

 .

Використання формули (1.10) можливе за умови, що розподіл заряду в

кожній точці даного тіла відомий. Якщо це не так, можна скористатись

теоремою Гаусса, згідно якої

 , (1.11)

де q – сумарний заряд, що міститься під замкненою поверхнею ?. Вибираючи

певним чином поверхню, можна знайти напруженість поля у потрібній точці.

Теорема Гаусса може бути записана й у диференціальній формі:

 . (1.12)

Векторне поле вважається повністю визначеним, якщо у кожній точці

простору визначено його дивергенцію і ротор. Співвідношення (1.12)

визначає першу з цих величин і тому називається першим рівнянням

електростатики вакууму. Друге рівняння електростатики

 (1.13)

відображає факт потенціальності електростатичного поля; у інтегральній