Правило Верещагіна. Основні варіанти перемножування епюр.

Правило Верещагіна

, що стає досить трудомістким уже при двох-трьох ділянках розбивки в

балках і особливо — у рамах.

Виявляється, що від цього недоліку можна піти, якщо безпосереднє

інтегрування у формулах Мору замінити так називаним перемножуванням

епюр. Така заміна можлива в тих випадках, коли хоча б одна з

перемножуваних епюр є прямолінійною. Цій умові відповідають усі системи,

що складаються з прямолінійних стрижнів. Дійсно, у таких системах епюра,

побудована від узагальненої одиничної сили, завжди буде прямолінійною.

Спосіб обчислення інтеграла Мору шляхом заміни безпосереднього

інтегрування перемножуванням відповідний епюр називається способом (або

правилом) Верещагіна і полягає в наступному: щоб перемножити два епюри,

з яких хоча б одна є прямолінійної, потрібно площа однієї епюри (якщо є

криволінійна епюра, те обов'язково її площа) помножити на ординату інший

епюри, розташовану під центром ваги першої.

Доведемо справедливість цього правила.

 відповідає одиничному навантаженню і є лінійною.

.

Рис.11.9. Правило Верещагіна

 щодо осі ПРО – ПРО1, при цьому

, тоді

 одержимо

 (11.20)

  Вираження (11.20) визначає результат перемножування двох епюр, а не

переміщення. Щоб одержати переміщення, цей результат потрібно розділити

на твердість, що відповідає внутрішнім силовим факторам, що коштують під

знаком інтеграла.

Основні варіанти перемножування епюр

Очевидно, що розмаїтість прикладених навантажень і геометричних схем

конструкцій приводить до різних, з погляду геометрії, що перемножуються

епюрам. Для реалізації правила Верещагіна потрібно знати площі

геометричних фігур і координати їхніх центрів ваги. На рис.11.10

представлені деякі основні варіанти, що виникають у практичних

розрахунках.

Для перемножування епюр складної форми їх необхідно розбивати на

найпростіші. Наприклад, для перемножування двох епюр, що мають вид

трапеції, потрібно одну з них розбити на трикутник і прямокутник,

помножити площа кожного з них на ординату другий епюри, розташовану під

відповідним центром ваги, і результати скласти. Аналогічно надходять і

для множення криволінійної трапеції на будь-яку лінійну епюрі.

Якщо зазначені вище дії проробити в загальному виді, то одержимо для

таких складних випадків формули, зручні для використання в практичних

розрахунках (рис.11.11). Так, результат перемножування двох трапецій

(рис.11.11,а)

Рис.11.10. Перемножування епюр

По формулі (11.21) можна перемножити й епюри, що мають вид

"перекручених" трапецій (рис.11.11,б), але при цьому добуток ординат,

розташованих по різні сторони від осей епюр, враховується зі знаком

мінус.

Якщо одна з перемножуваних епюр обкреслена по квадратній параболі (що

відповідає навантаженню рівномірно розподіленим навантаженням), то для

перемножування з другою (обов'язково лінійної) епюрою її розглядають як

суму (рис.11.11,в) або різниця (рис.11.11,г) трапецєідальної і

параболічної епюр. Результат перемножування в обох випадках визначається