Поняття про розрахунок гнучких пластинок

Тонкі пластинки, що мають прогини більші чверті своєї товщини,

називаються гнучкими. Для них гіпотеза про недеформованість серединної

площини виявляється несправедливою, тому що в ній виявляються деформації

розтягання, стиску й зрушення. Крім того, зусилля серединної площини

гнучкої пластинки залежать від її прогинів.

 уздовж осей x і y (рис. 5.19).

Рис. 5.19. Переміщення в гнучкій пластинці

Тоді формули (5.4) приймають вигляд

:

Ці формули ускладнюються ще й тим, що деформації точок серединної

площини залежать від прогинів нелінійно:

.

Напруги в гнучкій пластинці приводяться не тільки до згинаючих і крутних

моментів і поперечних сил (5.8), (5.9), (5.10), але й до нормальним і

зрушуючих сил у серединній площині (рис. 5.20):

Рис. 5.20. Нормальні й зрушуючі сили

. Крім цих переміщень, одержуємо рівняння нерозривності деформацій, що

зв'язує зусилля в серединній площині пластинки:

 (а)

Складемо рівняння рівноваги нескінченно малого елемента серединної

площини гнучкої пластинки, що перебуває як під дією поперечних сил, так

і під дією сил у її серединній площині (рис. 5.20). Проекція сил на вісь

x дає

 знаходимо

 (б)

Аналогічно з рівняння проекцій на вісь y одержуємо

, нескінченно малого елемента серединної площини пластинки після

скривлення. У цій площині видно сили

кути нахилу яких щодо осі відповідно рівні

При проектуванні врахуємо, що косинус малого кута дорівнює одиниці, а

синус - самому куту, тобто в даній площині

Z

\

b

d

~

Ђ

†

ў

¤

¦

Ё

ѕ

ь

ю

 Ь

к

м

Рис. 5.21. Перетин елемента площиною

Спроектуємо нормальні сили в розглянутій площині на вісь z:

Після спрощення й відкидання величин третього порядку малості одержимо

:

 (д)

Розташування дотичних сил після деформації гнучкої пластинки показане на

рис. 5.22.

Рис. 5.22. Розташування дотичних сил після деформації

. Спроектуємо ці сили на вісь z:

 одержимо

, після відповідного згрупування одержуємо

Вирази, що знаходяться в дужках, відповідно до співвідношень (б) рівні

(в) нулю. Підставляючи потім з (5.9) вирази поперечних сил, знаходимо

 у формі

 (5.37)

то рівняння (ж) і (а) приймуть вигляд

 (5.38)

Тут введений оператор

.

Система нелінійних рівнянь (5.38), що зв'язує функцію напруг у

серединній площині пластинки й функцію прогинів, введена німецьким

ученим Т. Карманом. Разом із граничними умовами вона представляє основну

систему нелінійних диференціальних рівнянь теорії гнучких пластинок.

Розв’язок цієї системи в загальному вигляді не отримано. У цей час за

допомогою теорії пластинок отриманий ряд частинних розв’язків для

рівномірно розподіленого поперечного навантаження, а також для

пластинок, що втрачають стійкість при стиску й зрушенні в їхній

серединній площині.

. Тоді рівняння (5.38) зводиться до рівняння (5.16).