Осесиметричні сферичні оболонки

Розв'язні рівняння осесиметричної деформації сферичних оболонок виходять
із загальних рівнянь (13.274) і (13.276) при підстановці в них Rt = Rm =
R:

 (13.323)

де

 (13.324)

Увівши позначення диференціального оператора

, (13.325)

запишемо рівняння (13.322) і (13.323) більш коротко:

 (13.327)

Загальне рішення цих рівнянь складається із загального рішення
відповідної системи однорідних рівнянь

 по формулах (13.258), (13.259) і (13.272), (13.273), у яких варто
покласти Rm = Rt = R. Напруження обчислюють по формулах (13.281) і
переміщення – по формулах (13.35) і (13.282).

Приведемо вирази частного рішення для випадків навантаження, що найбільш
часто зустрічаються.

Рівномірний внутрішній тиск (рис. 13.83, а)



а б

Рис. 13.83. Частні рішення

Зусилля Tm і Tt визначаються по виразах (13.272), (13.273):

 (13.329)

Осьова сила Р (рис. 13.83, б):

 (13.330)

Неважко переконатися, що частки рішення для цих випадків навантаження
повністю збігаються з рішеннями, які дає безмоментна теорія.

Рівномірне обертання оболонки. Інтенсивність радіального інерційного
навантаження визначається виразом

Її нормальна й дотична складові:

де

 визначимо по формулі (13.324):

, тобто

де З — невизначений множник.

 в рівняння (13.323) і виконавши нескладні перетворення, знайдемо

, переконуємося, що воно задовольняється при

Отже, шукане частне рішення має вигляд

 визначають по формулах (13.271), (13.272) і (13.273), тобто

. Граничні умови в цьому випадку наступні:

Частне рішення розв'язних рівнянь визначається виразами (13.331) і
(13.332). Неважко перевірити, що ця частка рішення задовольняє всім
граничним умовам. Це значить, що загальне рішення відповідного
однорідного рівняння в цьому випадку додавати не потрібно. Таким чином,
формули (13.331) і (13.332) повністю визначають значення зусиль у
замкнутій обертовій оболонці.

 одержимо

Радіальні переміщення точок поверхні відповідно до рівняння (13.35):

Осьові переміщення відповідно до  рівняння   (13.282):

(? відлічується від полюса).

 по цій формулі одержимо зміну відстані між полюсами

, побудовані при наступних числових даних:

R = 40 см;    h = 2 см,    n = 1000 об/хв;

 = 7,8·10-2 Н/см3;

 = 0,3.

Максимальні напруження виникають у зовнішніх точках на екваторі оболонки

Зміна діаметра по екватору

Зміна відстані між полюсами

, знайдемо

тоді з рівняння Лапласа

Одержимо загальне рішення системи однорідних рівнянь (13.328). Аналіз
цієї системи показує, що другі доданки в лівих частинах рівнянь можна
відкинути (внесена цим погрішність не перевищує погрішності, внесеної
вихідними допущеннями). Після виключення цих складаються уравнения, що,
приймають вид

Ці два рівняння можна привести, до одного рівняння другого порядку щодо
комплексної змінної. Помножимо перше рівняння на невизначений постійний
множник а й складемо із другим:

 (13.333)

Множник а підберемо так, щоб добутки, укладені у квадратні дужки, були
рівні між собою, тобто

звідси

 (13.334)

знак перед коренем може бути обраний довільно.